Tarea 3

Un área mínima

Sean

• ABCD un cuadrado de lado n.

• P un punto de su lado AB.

  PQRS un cuadrado inscrito en el cuadrado ABCD:

Determinar la posición del punto P de modo que el área del cuadrado PQRS sea la menor posible.

Desarrollo:

si nuestro n = 19 tenemos que:

Usando la propiedad trigonométrica de pitágoras para los 4 triangulos rectangulos semejantes que se forman en base a cada vértice del cuadrado principal:

En donde la función representa el área del cuadrado inscrito.

Ahora necesitamos encontrar el punto mínimo de la función, para eso ocuparemos el vértice:

-b/2a => 38/4 => 9,5

Lo que significa que el punto P en donde el cuadrado minimiza su área es justo a la mitad del lado n, en nuestro caso es 9.5

Esto tambien lo podemos ver si realizanos la gráfica de la función área en donde está claro que el mínimo es en el punto 9,5 y que la menor área es alrededor de 180

Parte c)

El grafico corresponde a una parábola abierta hacia abajo, lo que significa que su máximo lo posee en el vértice, en nuestro caso el máximo se encuentra en x= 9,5 y en y=77.94 y el área máxima es de x*y es de 740,43 metros cuadrados.

Parte b)

Este es el gráfico de la función realizado por el sofware excel:

Tarea 2

parte a)

Sea x la base del rectangulo inscrito en el triangulo,

y la altura del rectangulo inscrito en el triangulo.

Calcularemos la altura del triángulo:

Los vértices del triángulo son:

El vértice superior derecho se encuentra sobre la recta: (usando la fórmula de 2 puntos para calcular la ecuación)

Pero como nuestro x es solo la mitad de la base del rectángulo debemos modificarlo.

Ahora que tenemos el valor de y, reemplazamos en nuestra función a maximizar, en este caso el área de un rectángulo:

finalmente la funcion que maximiza el rectángulo es:

Segunda Parte (2)

a.- Calcular, aproximadamente, n*h(n/2) − 3h(-n/3).

19* h(9,5) - 3* h(-6,3)

(19* -5) - (3*-10)

-95 + 30 = -65

b.- Determinar, aproximadamente, la(s) preimagenes de n/2.

19/2 = 9,5 =>

y= f(x) = 9,5

x=3

Tarea 1

Primera Parte ( 1)

1.- Dada la función y = f(x) = (nx)/(x+n). y siendo 19 el número de nuestro grupo quedará:

f(x) = (19*x)/(x+19)

a.- Sustituimos el valor de nuestro grupo en la función dada y quedará:

y= g(x)= (19*x)/(x+19)

b.- Determinar el Dom(g)

El dominio es el conjunto de elementos que tienen imágen, es decir, en donde la funcion existe. Por lo que la única posibilidad que hay para que la funcion no exista es si x= -19. El dominio de la funcion es:

Dom(g)= R -{ -19}

c.- Calcular y simplificar la expresión g(2x) − 2g(x).

Integrantes

* Constanza Alcaíno Leiva - Ingeniería Civil Industrial - 2008406035
* Mónica Valverde Barrios - Ingeniería Civil Industrial - 2008406082